Giuseppe Andrea Albini wurde am 13.09.1750 als Spross einer wohlhabenden römischen Familie geboren. Die Familie wanderte im 15. Jahrhundert aus Albanien nach Italien ein. Seine Eltern waren Orazio Albani, Prinz von Soriano und Cimino und Maria Anna Matilde Cybo Malaspina, Prinzessin von Massa. Er war ein Großneffe Papst Clemens XI. (1700-1720). Sein Onkel Gian Francesco Albini war ebenfalls ein bedeutender Kardinal.

Albini studierte zunächst am Priesterseminar von Siena und Rom. Papst Clemens XIV. (1705-1774) verlieh ihm den Titel eines päpstlichen Hausprälaten und Papst Pius VI. berief ihm im Jahre 1787 zum Auditor der Apostolischen Kammer, die sich um die päpstlichen Finanzen kümmernde Behörde im Kirchenstaat.

Im Jahre 1794 entsandte Papst Pius VI. den Theologen Albini zum Gesandten am Wiener Hof. Seine Aufgabe am Wiener Hof war die Begründung eines Bündnisses zwischen dem in Bedrängnis befindlichen Kirchenstaat und Kaiser Franz II.. Nachdem Truppen des Generals Napoléon Bonaparte den Kirchenstaat besetzt hatte und den Papst in die Verbannung schickte, bemühte Albini sich, den Papst auf österreichischen Territorium Zuflucht zu verschaffen. Dieses Ansinnen scheiterte jedoch.

Am 23.02.1801 berief Papst Pius VII. Giuseppe Albini ins Kardinalsamt. Ihm wurde die Titulardiakonie San Cesareo in Palatino übertragen. Im Jahre 1828 erfolgte seine Berufung zum Kardinaldiakon von Santa Maria in Via Lata.

Er flüchtete während der napoleonischen Zeit Italiens von Rom aus nach Wien, wo er sich zwischen 1808 und 1814 aufhielt. Im Jahre 1808 wohnte er der Hochzeit von Napoléon Bonaparte und der Habsburger-Prinzessin Marie-Louise bei.

Im Zuge der Wiederherstellung des Kirchenstaats im Herzen Italiens übernahm er zunächst die Leitung der kirchlichen Behörde für öffentliche Wasserversorgung und Arbeiten. Im Jahre 1817 wurde der Kardinal Präfekt der Konzilkongregation. Ursprünglich sollte die 1567 gegründete Konzilkongregation die Umsetzung der Beschlüsse des Trienter Konzils, das im Jahre 1563 endete, überwachen. Im Laufe der Zeit wurden dieser kirchenstaatlichen Verwaltungsbehörde immer weitere Aufgaben zugewiesen und erst Papst Paul VI. änderte in Folge der durch das Zweite Vatikanische Konzil (1962-1965) erfolgte Neuorganisation der katholischen Kirche, die Bezeichnung. Er nahm an der Konklave 1823 teil, die Leo XII. zum Papst wählte und unterstützte bei dieser Gelegenheit die Kandidatur von Ercole Consalvi, der zu den reformfreudigen Kandidaten gehörte. In dieser Zeit führte ihn sein diplomatisches Geschick auch an den Mailänder Hof.

Unter Papst Pius VIII., der auf dem Konklave von 1829 gewählt wurde, war er von März 1829 bis zum Dezember 1830 Kardinalstaatssekretär. Frankreich protestierte gegen die Berufung Albinis, weil es eine österreichische Beeinflussung des neuen Kardinalstaatssekretärs fürchtete. Dies führte letztlich zum Rücktritt des französischen Gesandte Chateaubriand. Die französischen Befürchtungen sollten sich in der Folge nicht bestätigen. In dieser Funktion suchte Albini den Kontakt zu den liberalen Kräften in Europa. In dieser für Europa unruhigen Zeit suchte er den Kontakt zu den belgischen Revolutionären aber auch zu Louis-Philippe I, , der als Bürgerkönig die Herrschaft der Bourbonen auf dem französischen Thron beendete.

Im Konklave von 1830/31 führte er den moderaten Flügel des Kardinalskollegiums an, der die Kandidatur Bartolomeo Paccas unterstützte.

1830 wurde der Kardinal als Kardinalsbibliothekar auch Vorsteher der vatikanischen Bibliothek in Rom.

Papst Gregor XVI. entsandte den Kardinal mit diplomatischen Geschick im Jahre 1831 nach Bologna und anderen Provinzen des Kirchenstaates, wo Aufstände ausbrachen, die nur durch das Eingreifen Österreichs unterbunden werden konnten. Er bemühte sich bei der päpstlichen Regierung moderate Reformen zu erzwingen. Durch eine Besänftigung revolutionärer Bestrebungen im Kirchenstaat hoffte er ein weiteres Eingreifen Österreichs zu verhindern. Andernfalls wäre mit einer französischen Aktion gegen den Kirchenstaat zu rechnen gewesen.

Da Metternich die vom Kardinal Albini getroffenen Maßnahmen nicht gefielen intervenierte Österreich direkt beim päpstlichen Stuhl und forderte die Ablösung des Kardinals.

Er wurde auch mit zahlreichen Orden ausgezeichnet. So war er Ritter des Obersten Ordens der Santissima Annunziata, der höchsten Auszeichnung des Königreichs Sardinien, oder er wurde auf Grund seiner langjährigen freundschaftlichen Verbindungen Ritter des ungarischen St. Stefans-Ordens.

Dieser ging nun als Gesandter nach Pesaro, wo er letztlich am 03.12.1834 verstarb. Seine sterblichen Überreste wurden nach Umbrien überführt, wo Albini am 10.12.1834 in seiner Familienkapelle in der Klosterkirche der Franziskaner von S. Pietro beigesetzt wurde.